）在此式中，a表示椭圆的半长轴，e是椭圆的偏心率，c是光速，T是行星公转周期。我们的结果也可以表达如下：按照广义相对论，椭圆的长轴绕太阳旋转，旋转的方向与行星的轨直运动方向相同。按照理论的要求，这个转动对于水星而言应达到每世纪43”（角度），但是对于我们的太阳系的其他行星而言，这个转动的量值应该是很小的，是必然观测不到的。（特别是由于下一颗行星——金星——的轨道几乎正好是一个圆，这样就更加难于精确地确定近日点的位置）
　　事实上天文学家已经发现，按照牛顿的理论计算所观测的水星运动时所达到的精确度是不能满足现时能够达到的观测灵敏度的。在计入其余行星对水星的全部摄动影响以后，发现（勒韦里耶于1859年，牛柯姆[Newcomb]于1895年）仍然遗留下一个无法解释的水星轨道近日点的移动问题，此种移动的量值与上述的每世纪+43"（角度）并无显著的差别。此项经验结果的测不准范围只达到几秒。
　　（2）光线在引力场中的偏转
　　在第22节已经提到，按照广义相对论，一道光线穿过引力场时其路程发生弯曲，此种变曲情况与抛射一物体通过引力场时其路发生弯曲相似。根据这个理论，我们应该预期一道光线经过一个天体的近傍时将发生趋向该天体的偏转。对于经过距离太阳中心△个太阳半径处的一道光线而言，偏转角（a）应等于
　　可以补充一句，按照理论，这个偏转的一半是由于太阳的牛顿引力场造成的；另一半是太阳导导致的空间几何形变（“变曲”）造成的。
　　这个结果可以在日全食时对恒星照象从实验上进行检验。我们之所以必须等待日全食的唯一原因是由于在所有其他的时间里大气受阳光强烈照射以致看不见位于太阳圆面附近的恒星。所预言的疚可以清楚地从图5中看到。如果没有太阳（S），一颗实际上可以视为位于无限远的恒星，由地球上观测，将在方向D1看到。但是由于来自恒星的光经过太阳时发生偏转，这颗恒星D2看到，亦即这颗恒星的视位置比它的真位置离太阳的中心更远一些。
　　在实践中检验这个问题是按照下述方法进行的。在日食时对太阳附近的恒星拍照。此外，当太阳位于天空的其他位置时，亦即在早几个月或晚几个月时，对这些恒星拍摄另一张照片。与标准照片比较，日食照片上恒星的位置应沿径向外移（离开太阳的中心），外移的量值对应于角a。
　　英国皇家学会和皇家天文学会对这个重要的推论进行了审查，我们深为感激。这两个学会没有被战争和战争所引起的物质上和精神上的种种困难所挫折，他们装备了两个远征观测队——一个到巴西的索布拉尔（Sobral），一个到西非的比林西卑岛（principe）——并派出了英国的几位最著名的天文学家[艾丁顿、柯庭汉（cottingham）、克罗姆林（crommelin）、戴维逊（Davidson）]，拍摄了1919年5月29日的日食照片。预料到在日食期间拍摄的恒星照片与其他用作比较的照片之间的相对差异只有一毫米的百分之几。因此，为拍报照片所需的照片之间的相对差异只有一毫米的百分之几。因此，为拍摄照片所需的调准工作以及随后对这些照片的量度都需要有很高的准确度。
　　测量的结果十分圆满地证实了这个理论。观测所得和计算所得的恒星位置偏差（以秒计算）的直角分量有如下表所列：
　　（3）光谱线的红向移动
　　在第23节中曾经表明，在一个相对于伽利略系K而转动的K'系中，构造完全一样而且被认定为相对于转动的参考物体保持静止的钟，其走动的时率与其所在的位置有关。现在我们将要定量地研究这个相倚关系。放置于距圆盘中心r处的一个钟有一个相对于K的速度，这个速度由
　　v=ωr
　　决定，其中ω表示圆盘K' 相对于K的转动角速度。设v0表示这个钟相对于K保持静止时，在单位时间内相对于K的滴嗒次数（这个钟的“时率”），那么当这个钟相对于K以速度v运动、但相对于圆盘保持静止时，这个钟的“时率”，按照第12节，将由
　　决定，或者以足够的准确度由
　　决定。此式也可以写成下述形式：
　　如果我们以φ表示钟所在的位置和圆盘中心之间的离心力势差，亦即将单位质量从转动的圆盘上钟所在的位置移动到圆盘中心为克服离心力所需要作的功（取负值），那么我们就有
　　由此得出
　　首先我们从此式看到，两个构造完全一样的钟，如果它们的位置与圆盘中心的距离不一样，那么它们走动的时率也不一样。由一个随着圆盘转动的观察者来看，这个结果也是有效的。
　　现在从圆盘上去判断，圆盘系处在一个引力场中，而引力场的势为φ，因此，我们所得到的结果对于引力场是十分普遍地成立的。还有，我们可以将发出光谱线的一个原子当作一个钟，这样下述陈述即得以成立：
　　一个原子吸收的或发出的光的频率与该原子所处在的引力场的势有关。
　　位于一个天体表面上的原子的频率与处于自由空间中的（或位于一个比较小的天体的表面上的）同一元素的原子的频率相比要低一些。这里，其中K是牛顿引力常数，M是天体的质量，因此，在恒星表面上产生的光谱线与同一元素在地球表面上所产生的光谱线比较，应发生红向移动，移云贵的量值是
　　对于太阳而言，理沦预计的红向移动约等于波长的百万分之二。对于恒星而言，不可能得出可靠的计算结果，因为质量M和半径r一般都是未知的。
　　此种效应是否存在还是一个未决问题，目前（1920年）天文学家正在以很大的热情从事工作以求这个问题的解决。由于对于太阳而言此种效应很小，因而此种效应是否存在难以作出判断。格雷勃（Gtebe〕和巴合姆（Bachem）根据他们自己以及艾沃舍德（Evrershed）和史瓦兹希耳德（Schwarzschild）对氰光谱带的测量，认为此种效应的存在差下多已经没有疑问；而其他的研究人员，特别是圣约翰(St.John)，根据他们的测量结果，得出了相反的意见。
　　对恒星进行的统计研究指出）光谱线朝向折射较小的一端的乎均位移肯定是存在的；但是，这些位移实际上是否由引力效应导致的，直到目前为止，根据对现有的数据的研究，还不能得出任何确定的结论。在艾·傅峦德里希（E.Freundlich）写的题为《广义相对论的验证》的一篇论文中[见柏林Julius Springer出版的《自然科学》（ie Naturwissenschaften）1919年第35期第520页]，已将观测的结果收集在一起，并从我们这里所注意的问题的角度对这些结果进行了详尽的讨论。
　　无论如何在未来的几年中将会得出一个确定的结论。如果引力势导致的光谱线红向移动并不存在，那么广义相对论就不能成立。另一方面，如果光谱线的位移确实是引力势引起的：那么对于此种位移的研究将会为我们提供关于天体的质量的重要情报。
　　【英文版附注】光谱线的红向位移已为亚当斯（Adams）于1924年通过时天狼星的密度很大的伴星的观测确定地予以证实，无狼垦伪伴里所产生的这种效应要比太阳产生的这种效应大三十倍左右。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　罗伯特·伍·罗森
　　四、以广义相对论为依据的空间结构
　　[补充第32节]
　　自从这本小册子的第一版出版以来，我们对于宇宙太空的结构的认识（“宇宙论问题”）已服重要的发展，即使是关于这个问题的一本通俗著作，也是应该提到这个重要的发展的。
　　关于这个问题我原来的论述系基于两个假设：
　　（1）整个宇宙空间中的物质有一个平均密度，这个平均密度处处相同而且不等于零。
　　（2）宇宙空间的大小（“半径”）与时间无关。
　　按照文义相对论，这两个假设已证明是一致的，但只是在场方程中加上一个假设项之后才能如此，而这样的一项不是理也并不是很自然的（“场方程的宇宙项”）。
　　假设（2）当时在我看来是不可避免的，因为我当时认为，如果我们离开这个假设，就要陷入无休止的空想。
　　但是，早在二十年代，苏联数学家夫里德曼（Friedman）就已经证明，从纯粹的理论观点看来，作另一种不同的假设是自然的。他看到，如果决心舍弃假设（2）那么在引力场方程中不引入这个不大自然的宇宙项对于保留假设（1）仍是可能的。亦即原来的场方程可以有这样的一个解，其中"世界半径"依赖于时间（膨胀的宇宙空间）。在这个意义上我们可以说，按照夫里德曼的观点，这个理论要求宇宙空间具有膨胀性。
　　几年以后哈勃（Hubble）对河外星云（“银河”）的专门研究证明，星云发出的光谱线有红向位移，此红向位移随着星去的距离有规则地增大。就我们现有的知识而言，这种现象可以依照多普勒原理解释为太空中整个恒星系的膨胀运动——按照夫里德曼，这是引力场议程所要求的，因此，在某种程度上可以认为哈勃的发现是这个理论的一个证实。
　　但是这里确实引起了一个不可思议的困难局面。如果将哈勃发现的银河光谱线位移解释为一种膨胀（从理论的观点看来这是没有多少疑问的），那么，依此推断，此种膨胀“仅仅”起源于大约十亿年以前；而按照天文物理学，各个个别恒星和恒星系的发生和发展很可能需要长得多的时间。如何克服这种矛盾，仍毫无所知。
　　我还需要提一下，我们还不能从宇宙空间膨胀理论以及天文学的经验数据得出关于（三维）宇宙空间的有限性或无限性的结论；而原来的宇宙空间“静态”假设则导致了宇宙空间的闭合性（有限性）。
　　五、相对论与空间问题
　　牛顿物理学的特点是承认空间和时间乃是和物质一样地有其独立而实际的存在，这是因为在牛顿的运动定律中出现了加速度的观念。但是，按照这一理论，加速度只可能指“相圣于空间的加速度”。因此，为了使牛顿运动定律中出现的加速度能够被看作是一个具有意义的量，就必须把牛顿的空间看作是“静止的”，或者最少是“非加速的”。对于时间而言，情况完全相同，时间当然也同样与加速度的要领有关。牛顿本人以及与他同时代的有识之士都感到，把空间本身和空间的运动状态同样地说成为具有物理实在性是不很妥当的；但是，为了使力学具有明确的意义，当时没有别的办法。
　　要众把一般的空间，尤其是一无所有的空间，视为具有物理实在性，的确是一种苛刻的要求，自远古以来哲学家们就已一再拒绝作这样的假设。笛卡儿曾大体上按照下述方式进行论证：空间与广延性是同一的，但广延性是与物体相联系的；因此，没有物体的空间是不存在的。亦即一无所有的空间是不存在的。这个论点的弱点主要有如下述。文延性概念起源于我们能把固体铺展开来或拼靠在一起的经验，这一点当然是对的。但不能由此得出结论说，如果某此事例本身不是构成广延性概念的源由，这个概念就不可能适用于这些事例。照这样来推广概念是否合理，可以间接地由其对于理解经验结果时所具有的价值来证明。因此，关于广延性的要领仅能适用于物体的断言，就其本身而论肯定是没有根据的。但是以后我们将会看到，广义相对论绕了一个大弯仍旧证实了笛卡儿的概念。使笛卡儿得出他的十分吸引人的见解的，肯定是这样的感觉，即只要不是万不得已的情况，我们不应该把象空间这一类无法“直接体验”的东西视为具有实在性。
　　以我们通常的思想习惯为基础来考虑，空间观念或这一观念的必要性的心理起源，远非表面看来那样明显。古代的几何学家所研究的是概念上的东西（直线、点、面），并没有真正研究到空间本身，象后来在解析几何学上所做到的那样。但是，空间观念仍可以从某些原始经验得到一些启示。例如：假定有一个已经造好了的箱子。我们可以按照某种方法把物体排列在箱子里面，把它装满。这种排列物体的可能性是“箱子”这个物质客体的属性，是随着箱子而产生的，也就是随着被箱子“被包围着的空间”而产生的。这个“被包围着的空间”因不同的箱子而异，人们很自然地认为这个“被乌黑着的空间”因不同的箱子而异，人们很自然地认为这个“被包围着的空间”在任何时刻都不依赖于箱子里面真有物体存在与否。当箱子里面没有物体时，箱子的空间看起来似乎是“一无所有的”。
　　到目前为止，我们的空间概念是同箱子联系在一起的。但是，我们知道，使箱子空间具有容纳物体的可能性并不取决于箱壁的厚薄如何。能不能把箱壁的厚度缩减为零而又使这个“空间”不致因此而消失呢？显然这种求极限的方法是很自然的。这样，在我们的思想中就只剩下了没有箱子的空间，一个本身自然存在原空间；虽然，如果我们把这个要领的起源忘掉的话，这个空间似乎还是很不实在。人们能够了解，把空间看作与物质客体无关且可以脱离物质而存在的东西，是和笛卡儿的论点相反的。（但是这并没有防碍他在解析几何学中把空间作为一个基本概念来处理。）当人们指出水银气压计中有真空存在时，肯定就完全驳倒了所有持有笛卡儿见解的人决。但是不可否认，甚至在这初始阶段，空间的概念或者空间被看作是独立而实在的东西，已带有某些不能令人满意之处了。
　　用什么方法能够把物体装空间（例如箱子），是三维欧几里得几何学的课题。欧几里得几何学的公理体系很容易使人迷惑，使人忘记它所讨论的仍是可以成为现实的东西。
　　如果空间概念是按照上述方式形成的，如果从“填满”箱子的经验推论下去，那么这个空间根本上是一个有界的空间。但是，这这种限制看来并不是必要的，因为显然我们总可以用一个比较大的箱子把那个比较小的箱子装进去。这样看来，空间又好象是无界的。
　　在这里我不准备讨论关于三维性质的和欧几里得性质的空间概念如何能溯源于比较原始的经验。我想首先从其他角度来讨论一下空间概念在物理学思想发展过程中所起的作用。
　　当一个小箱子s在一个大箱子S的全空空间中处于相对静止的状态时，s的全空空间就是S的全空空间的一部份，而且把s和S的全空空间一起包括进去的同一个“空间”，既属于箱子s。但是，当s相对于S运动时，这个概念就不那么简单了。人们就要认为s总是乌黑判同一空间，但其所乌黑的S的一部分空间则是可变的。这样就有必要认定每一个箱子各有其特别的、无界的空间，并且有必要假定这两个空间彼此作相对运动。
　　在人们注意到这种复杂情况以前，空间看来好象是物体在其中游来游去的一种无界的媒质或容器。但是现在必须记得，空间有无限多个，这些空间彼此作相对运动。认为空间是客观存在的、是不依赖于物质的这种概念系属于现代科学兴起以前的思想。但是关于存在着无限多个，这些空间彼此作相对运动。认为空间是客观存在的、是不依于物质的这种概念系属于现代科学兴起以前的思想。但是关于存在着无限多个作相对运动的空间的观念则是现代科学兴起以后的思想。后一观念在逻辑上的确是无可避免的，但是这种观念甚至在现代科学思想中也远未起过重要的作用。
　　关于时间概念的心理起源又是怎样的呢？这个概念无疑是与“回想”相联系的，而且也与感觉经验和对这些经验的回忆这两者之间的辨别相联系。感觉经验与回忆（或简单重现）之间的辨别是否在心理上由我们直接感到的呢？这一点就其本身而言是有疑问的。每一个人都有过这样的经验，就是曾经怀疑某件事是通过自己的感官真正经验过的呢，还是只不过是一个梦。在这两种可能性之间进行辨别的能力大概最初是脑子要整理出次序来的一种活动的结果。
　　如果一个经验是与一个“回忆”联系在一起的，那么就认为这个经验与“此刻的经验”相比是“较早的”。