四个数的排列方法甚至无需一定要把x1,x2,x3当作“空间”坐标把x4 当作“时间”坐标。
　　读者可能会想到，这样一种，世界的描述是十分不够格的。如果x1,x2,x3,x4这些特定的坐标本身并无意义，那么我们用这些坐标标出一个事件又有什么意义？但是，更加仔细的探讨表明，这种担忧是没有根据的。例如我们考虑一个正在作任何运动的质点。如果这个点的存在只是瞬时的，并没有一个持续期间，那么这个点在空时中即由单独一组x1,x2,x3,x4的数值来描述。因此，如果这个点的存在是永久的，要描述这个点，这样的数值组就必须有无穷多个，而且其坐标值必须紧密到能够显示出连续性；对应于这个质点，我们就在四维连续区中有一根（一维的）线。同样，在我们的连续区中任何这样的线，必然也对应于许多运动的点，以上对于这些点的陈述中实际上只有关于它们的会合的那些陈述才称得起具有物理存在的意义。用我们的数学论述方法来说明，对于这样的会合的表述，就是两根代表所考虑的点的运动的线中各有特别的一组坐标值x1,x2,x3,x4是彼此共同的。经过深思熟虑以后，读者无疑将会承认，实际上这样的会合构成了我们在物理陈述中所遇到的具有时空性质的唯一真实证据。
　　当我们相对于一个参考物体描述一个质点的运动时，我们所陈述的只不过是这个点与这个参考物体的各个特定的点的会合。我们也可以借助于观察物体和钟的会合，井协同观察钟的指针和标度盘上特定的点的会合来确定相应的时间值。使用量杆进行空间测量时情况也正是这样，这一点稍加考虑就会明白。
　　下面的陈述是普遍成立的：每一个物理描述本身可分成许多个陈述，每一个陈述都涉及A 、B两事件的空时重合。从高斯坐标来说，每一个这样的陈述，是用两事件的四个坐标x1,x2,x3,x4相符的说法来表达的；因此实际上，使用高斯坐标所作的关于时空连续区的描述可以完全代替必须借助于一个参考物体的描述，而且不会有后一种描述方式的缺点；国为前一种描述方式不必受所描述的连续区的欧几里得特性的限制。
　　28．广义相对性原理的严格表述
　　现在我们已经有可能提出广义相对性原理的严格表述来代替第18节中的暂时表达。第18节中所用的表述形式是，“对于描述自然现象（表述普遍的自然界定律）而言，所有参考物体K、K’等都是等效的，不论它们的运动状态如何，”这个表述形式是不能够保持下去的，因为，按照狭义相对论的观念所推出的方法使用刚性参考物体作空时描述，一般说来是不可能的，必须用高斯坐标系代替参考物体。下面的陈述才与广义相对性原理的基本观念相一致：“所有的高斯坐标系对于表述普遍的自然界定律在本质上是等效的。”
　　我们还可以用另一种形式来陈述这个广义相对性原理。用这种形式比用狭义相对性原理的自然推广形式更加明白易懂，按照狭义相对论，当我们应用洛伦兹变换，以一个新的参考物体K’的空时变量x',y',z',t'代换一个（伽利略）参考物体K的空时变量x,y,z,t时，表述普遍的自然界定律的方程经变换后仍取同样的形式。另一方面，按照广义相对论，对高斯变量x1,x2,x3,x4应用任意代换，这些方程经变换后仍取同样的形式；因为每一种变换（不仅仅是洛伦兹变换）都相当于从一个高斯坐标系过渡到另一个高斯坐标系。
　　如果我们愿意固执我们“旧时代”的对事物的三维观点，那么我们就可以对广义相对论的基本观念目前发展的特点作如下的描述，狭义相对论和伽利略区域相关，亦即和其中没有引力场存在的区域相关。就此而论，一个伽利略参考物体在充当着参考物体，这个参考物体是一个刚体，其运动状态必须选择得使“孤立”质点作匀速直线运动的伽利略定律相对于这个刚体是成立的。
　　从某些考虑来看，我们似乎也应该把同样的伽利略区域引入于非伽利略参考物体。那么相对于这些物体就存在着一种特殊的引力场（见第20节和第28节），在引力场中，并没有象具有欧几里得性质的刚体那样的东西；因此，虚设的刚性参考物体在广义相对论中是没有用处的。钟的这动也受引力场的影响，由于这种影响，直接借助于钟而作出的关于时间的物理定义不可能达到狭义相对论中同样程度的真实感。
　　由于这个缘故，我们使用非刚性参考物体，这些物体整个说来不仅其运动是任意的，而且在其运动过程中可以发生任何形变。钟的运动可以遵从任何一种运动定律，不论如何不规则，但可用来确定时间的定义。我们想象每一个这样的钟是在非刚性参考物体上的某一点固定着。这些钟只满足这样的一个条件，即从（空间中）相邻的钟同时观测到的“读数”彼此仅相差一个无穷小量。这个非刚性参考物体（可以恰当地称作”软体动物参考体”）基本上相当于一个任意选定的高斯四维坐标系。与高斯坐标系比较，这个“软体动物”所具有的某些校易理解之处就是形式上保留了空间坐标和时间坐标的分立状态（这种保留实际上是不合理的）．我们把这个软体动物上的每一点当作一个空间点，相对于空间点保持静止的每一个质点就当作是静止的，如果我们把这个软体动物视为参考物体的活。广义相对性原理要求所有这些软体动物都可以用作参考物体来表述普遍的自然界定律，在这方面，这些软体动物具有同等的权利，也可以取得同样好的结果；这些定律本身必须不随软体动物的选择而变易。
　　由于我们前面所看到的那些情况，广义相对性原理对自然界定律作了一些广泛而具明确性的限制，广义相对性原理所具有的巨大威力就在于此。
　　29．在广义相对性原理的基础上解引力问题
　　如果读者对于前面的论述已经全部理解，那么对于理解引力问题的解法，就不会再有困难。
　　我们从考察一个伽利略区域开始，伽利略区域就是相对于伽利略参考物体K其中没有引力场存在的一个区域。量杆和钟相对于K的行为已从狭义相对论得知，同样，“孤立”质点的行为也是已知的；后者沿直线作匀速运动。
　　我们现在参照作为参考物体K’的一个任意高斯坐标系或者一个“软体动物”来考察这个区域。那么相对于K'，就存在着一个引力场G（一种特殊的引力场）。我们只利用数学变换来察知量杆和钟以及自由运动的质点相对于K’的行为。我们把这种行为解释力量杆、钟和质点在引力场G的影响下的行为。此处我们引进一个假设：引力场对量杆、钟和自由运动的质点的影响将按照同样的定律继续发生下去，即使当前存在着的引力场不能简单地通过坐标变换从伽利略的特殊情况推导出来。
　　下一步是研究引力场G的空时行为，引力场G过去是简单地通过坐标变换由伽利略的特殊情况导出的。将这种行为表述为一个定律，不论在描述中所使用的参考物体（软体动物）如何选定，这个定律始终是有效的。
　　然而这个定律还不是普遍的引力场定律，固为所考虑胁引力场是一种特殊的引力场。为了求出普遍的引力场定律。我们还需要将上述定律加以推广，这一推广可以根据下述要求妥善地得出：
　　（1）所要求的推广必须也满足广义相对性公设。
　　（2）如果在所考虑的区域中有任何物质存在，对其激发一个场的效应而言，只有它的惯性质量是重要的，按照第15节，也就是只有它的能量是重要的。
　　（3）引力场加上物质必须满足能量（和冲量）守恒定律。
　　最后，广义相对性原理使我们能够确定引力场对于不存在引力场时按照已知定律已在发生的所有过程的整个进程的影响，这样的过程也就是已经纳入狭义相对论的范围的过程，对此，我们原则上按照已对量杆。钟和自由运动的质点解释过的方法去进行。
　　照这样从广义相对性公设导出的引力论，其优越之处不仅在于它的完美性；不仅在于消除第21节所显示的经典力学所带的缺陷；不仅在于解释惯性质量和引力质量相等的经验定律；而且也在于它已经解释了经典力学对之无能为力的一个天文观测结果。
　　如果我们把这个引力论的应用限制于下述的情况，即引力场可以认为是相当弱的，而且在引力场内相对于坐标系运动着的所有质量的速度与光速比较都是相当小的，那么，作为第一级近似我们就得到牛顿的引力理论。这样上牛顿的引力理论在这里无需任何特别的假定就可以得到，而牛顿当时却必须引进这样的假设，即相互吸引的质点问的吸引力必须与质点问的距离的平方成反比、如果我们提高计算的精确度，那么它与牛顿理论下一致的偏差就会表现出来，但是由于这些偏差相当小；实际上都必然是观测所检验不出来的。
　　这里我们必须指出过些偏差中的一个提请读者注意。按照牛领的理论，行星沿椭圆轨道绕日运行，如果我们能够略而不计恒星本身的运动以及所考虑的其他行星的作用，这个椭圆轨道相对于恒星的位置将永久保持不变。因此，如果我们改正所观测的行星运动而把这两种影响消去，而且如果牛顿的理论真能严格正确，那么我们所得到的行星轨道就应该是一个相对于恒星系是固定不移的椭圆轨道。这个可以用相当高的精确以验证的推断，除了一个行星之外；对于所有其他的行全而言，己经得到了证实，其精确度是目前可能获致的观测灵敏度所能达到的精确度。唯一例外的就是水星，它是离太阳最近的行星。从轨韦里耶（Leverrier）的时候起人们就知道，作为水星轨道的椭圆，经过改正消去上述影响后，相对于恒星系并不是固定不移的，而是非常缓慢地在轨道的平面内转动，并且顺着沿轨道的运动时方向转动。所得到的这个轨道椭圆的这种转动的值是每世纪43"（角度），其误差保证下会超过几秒（角度）．经典力李解释这个效应只能借助于设立假设，而这些假设是下大可能成立的，这些假设的设立仅仅是为了解释这个效应而已。
　　根据广义相对论，我们发现，每一个绕日运行的行星的椭圆轨道，都必然以上述方式转动；对于除水星以外的所有其他行星而言，这种转动都大小，从现时可能达到的观测灵敏度是无法探测的；但是对于水星而言，这个数值必须达到每世纪43"这个结果与观测严格相符。
　　除此以外，到目前为止只可能从广义相对论得出两个可以由观测检验的推论，即光线因太阳引力场而发生弯曲，以及来自世大星球的光的谱线与在地球上以类似方式产生的（即由同一种原子产生的）相应光谱线比较，有位移现象发生。从广义相对论得出的这两个推论都已经得到证实。

第三部分　关于整个宇宙的一些考虑
　　30．牛顿理论在宇宙论方面的困难
　　经典天体力学除了存在着第21节所讨论的困难之外，还存在着另一个基本困难，根据我的了解，天文学家希来哲（Seeliger）第一个对这个基本困难进行了详细的讨论。如果我们仔细地考虑一下这个问题：对于宇宙，作为整体而言，我们应持何种看法；那么我们所想到的第一个月答一定是：航空间（和时间）而言，宇宙是无限的。到处都存在着星体，因此，虽然就细微部分说来物质的密度变化很无但平均说来是到处一样的，换言之，我们在宇宙空间中无论走得多么远，都会到处遇到稀薄的恒星群，这些恒星群的种类和密度差不多都是一样的。
　　这个看法与牛顿的理论是下一致的。牛顿理论要求宇宙应具有某种中心，处在这个中心的星群密度最大，从这个中心向外走，诸星的群密度逐渐减小，直到最后，在非常遥远处，成为一个无限的空虚区域。恒星宇宙应该是无限的空间海洋中的一个有限的岛屿。
　　这个概念本身已不很令人满意。这种概念更加不能令人满意的是由于它导致了下述结果：从恒星发出的光以及恒星系中的各个个别恒星不断奔向无限的空间，一去不返，而且永远不再与其他自然客体相互发生作用；这样的一个有限的物质宇宙将注定逐渐而系统地被削弱。
　　为了避免这种两难局面，希来哲对牛顿定律提出了一项修正，其中假定，对于很大的距离而言，两质量之间的吸引力比按照平方反比定律得出的结果减小得更加快些。这样，物质的平均密度就有可能处处一样，甚至到无限远处也是一样。而不会产生无限大的引力场。这样我们就摆脱了物质宇宙应该具有某种象中心之类的东西的这种讨厌的概念。当然，我们摆脱上述基本困难是付出了代价的，“这就是对牛顿定律进行了修改井使之复杂化，而这种修改和复杂化既无经验根据亦无理论根据）我们能够设想出无数个可以实现同样目的的“定律，而不能举出理由说明为什么其中一个定律比其他定律更为可取；因为这些定律中的任何一个，与牛顿定律相比，并没有建立在更为普遍的理论原则上。
　　31．一个“有限”而又“无界”的宇宙的可能性
　　但是，对宇宙的构造的探索同时也沿着另一个颇不相同的方向前进。非欧几里得几何学的发展导致了对于这样一个事实的认识，即我们能对我们的宇宙空间的无限性表示怀疑，而不会与思维的规律或与经验发生冲突（黎曼、亥姆霍兹）。亥姆霍兹和潘加里（Poincare）已经以无比的明晰性详细地论述了这些问题，我在这里只能简单地提一下。
　　首先我们设想在二维空间中的一种存在。持有扁平工具（特别是扁平的刚性量杆）的扁平生物自由地在一个平面上走动，对于它们来说，在这个平面之外没有任何东西存在；它们所观察到的它们自己的和它们的扁平的“东西”的一切经历，就是它们的平面所包含着的全部实在，具体言之，例如欧几里得平面几何学中的一切作图都可以借助于杆子来实现，亦即利用在第24节所已讨论过的格子构图法。与我们的宇宙对比，这些生物的宇宙是二维的；但同我们的宇宙一样，它们的宇宙也延伸到无限远处。在它们的宇宙中有足够的地方可以容纳无限多个用杆于构成的互相等同的正方形；亦即它们的字宙的容积（面积）是无限的。如果这些生物说它们的宇宙是“平面”的，那么这句话是有意义的，因为它们的意思是它们能用它们的杆子按照欧几里得平面几何学作图。这里，各个个别杆子永远代表同一距离，而与其本身所处的位置无关。
　　现在让我们考虑一下另一种二维的存在，不过这次是在一个球面上而不是在一个平面上。这种扁平生物连同它们的量杆以及其他的物体，与这个球面完全贴合，而且它们不可能离开这个球面。因而它们所能观察的整个宇宙仅仅扩展到整个球面。这些生物能否认为它们宇宙的几何学是平面几何学，它们的杆子同样又是其“距离”的实在体现呢？它们不能这样做。因为如果它们想实现一根直线，它们将地得到一根曲线，我们“三维生物”把这根曲线称作一个大圆，亦即具有确定的有限长度的、本身就是完整独立的线，其长度可以用量杆测定。同样，这个宇宙的面积是有限的，可以与用杆子构成的正方形的面积相比较。从这种考虑得出的极大妙处在于承认了这样一个事实，即这些生物的琮宙是有限的，但又是无界的。
　　但是这些球面生物无需作世界旅行就可以认识到它们所居住的不是一个欧几里得宇宙。在它们的“世界”的各个部分它们都能够弄清楚这一点，只要它们所使用的部分不太小就可以了。从一点出发，它们向所有各个方向画等长的“直线”（由三维空间判断是圆的弧段）。它们会把连接这些线的自由端的线称作一个“圆”。按照欧几里得平面几何学，平面上的圆的圆周与直径之比（圆周与直径的长度用同一根杆子测定）等于常数π这个常数与圆的直径大小无关。我们的扁平生物在它们的球面上将会发现圆周与直径之比有以下的值。
　　亦即一个比π小的值，圆半径与“世界球”半径R之比俞大，上述比值与π之差就愈加可观。借助于这个关系，球面生物就能确定它们的宇宙（“世界”）的半径，即使它们能够用来进行测量的仅仅是它们的世界球的比较小的二部分。