从四维的观点来考虑，四个坐标的一种非线性变换对应于从S1到S2的过渡。这里产生了一个问题：哪一种非线性变换是可能的，或者说，洛伦兹变换是怎样推广的？下述考虑对于回答这个问题具有决定性的意义。
　　设早先的理论中的惯性系具有这个性质：坐标差由固定不移的“刚性”量杆测量，时间差由静止的钟测量。对第一个假定还须补充以另一个假定，即对于静止的量杆的相对展开和并接而言，欧几里得几何学关于“长度”的诸定理是成立的。这样，经过初步的考虑，就可以从狭义相对论的结果得出下述结论：对于相对于惯性系（S1）作加速运动的参考系（S2）而言，对坐标标作此种直接的物理解释不再是可能的了，但是，如果情况是这个的话，坐标现在就只能表示“邻接”的级或秩，也就是只能表示空意愿维级，但一点也不能表示空意愿度规性质。这样我们就意识到从已有的变换推广到任意连续变换的可能性。而这里就已具有广义相对性原理的含义：“自然律对于任意连续的坐标变换必须是协变的”。这个要求（连带着自然律应具有最大可能的逻辑简单性的要求）远比狭义相对性原理更为有力地限制了一切自然律。
　　这一系列的观念主要是以场作为一个独立的要领为基础的。因为，对于S2有效的情况被解释为一种引力场，而并不问其是否存在着产生这个引力场的质量。借助于这一系列的观念，还可以理解到为什么纯引力场定律比起一般的场（例如在有电磁场存在的时候）的定律来，它与广义相对论有更为直接的联系。也就是说，我们有充分的理由假定，“没有场”的闵可夫斯基空间表示自然律中可能有的一种特殊情况，事实上这是可以设想的最简单的特殊情况。就其度规性质而言，这样的空间的特性可由下述的方式表示：等于一个三维“类空”截面上无限接近的两点的空间间隔的实测值（用单位标准长度量度）的平方（毕达哥拉斯定律）；而dx4(x1,x2,x3)的两个事件的时间间隔（以适当的计时标准量度）。这一切只不过是意味着将一种客观的度规意义赋予下面这个量
　　　　 （1）
　　这点也不难借助于洛伦兹变换来予以证明。从数学观点上来说，这个事实对应于这个条件：dS2对于洛伦兹变换是不变的。
　　如果按照广义相对性原理的意义，令这个空间（参照方程（1））作一任意连续的坐标变换，那么这个具有客观意义的量dS在新的坐标系中即以下列关系式表示：
　　此式的右边要对指标I和k从11，12，.直到44的全部组合求和。这里诸项也并不是新坐标的任意函数，而是必须正好使形式（la）经过四个坐标的连续的变换仍能还原为形式（1）的这样一类函数。为了使这一点成为可能，诸函数gik必须满足某些普遍协变条件方程，这些方程是在建立广义相对论以前半个多世纪时由黎曼导出的（“黎曼条件”）。按照等效原理，当诸函数gik满足黎曼条件时，（la）就以普遍协变形式描述了一种特殊的引力场。
　　由此推论，当黎曼条件被满足时，一般的纯引力场的定律即必然被满足；但这个定律必然比黎曼条件弱或限制得较少。这样，纯引力的场定律实际上即可完全确定。这个结果不想在这里详加论证。
　　现在我们已有可能来考察一下，对空间概念要作多么大的修改才能过渡到广义相对论去。按照经典力学以及按照狭义相对论，空间（空时）的存在不依赖于物质或场。为了能够描述充满空间并依赖于坐标的东西，必须首先设想空时或惯性系连同其度规性质是已经存在的，否则，对于“充满空间的东西”的描述就没有意义。而根据广义相对论，与依赖于坐标的“充满空间的东西”相对立的空间是不能脱离此种“充满空间的东西”而独立存在的。这样，我们知道，一个纯引力场是可以用从解引力方程而得到的gik（作为坐标的函数）来描述的。如果我们设想将引力场亦即诸函数gik除去，剩下的就不是（1）型的空间，而是绝对的一无所有，而且也不是“拓扑空间”。因为诸函数gik不仅描述场，而且同时也描述这个流形的拓扑和度规结构性质。由广义相对论的观点判断，（1）型的空间并不是一个没有场的空间，而是gik场的一种特殊情况，对于这种特殊情况，诸函数gik——指对于所使用的坐标系而言（坐标系本身并无客观意义）——具有不领带于坐标的值。一无所有的空间，亦即没有场的空间，是不存在的。空时是不能独立存在的，只能作为场的结构性质而存在。
　　因此，笛卡儿认为一无所有的空间并不存在的见解与真理相去并不远。如果仅仅从有质物体来理解物理实在，那么上述观念看来的确是荒谬的。将场视为物理实在，的表象的这种观念，再把广义相对性原理结合在一起，才能说明笛卡儿观念的真义所在；“没有场”的空间是不存在的。
　　（3）广义的引力论
　　根据以上所述，以广义相对论为基础的纯引力场论已不难获得，因为我们可以确信，“没有场”的闵可夫斯基空间其度规若与（1）一致一定会满足场的普遍定律。而从这个特殊情况出发，加以推广，就能导出引力定律，并且在此推广过程中实际上可以避免任意义性。至于理论上进一步的发展，则广义相对性原理并没有十分明确地作出了决定；在过去几十年中，人们曾经朝着各个不同方向进行控索。所有这些努力的共同点是将物理实在看成一个场，而且是作为由引力场推广出来的一个场，因而这个场的场定律是纯引力场定律的一种推广。经过长期探索之后，对于这一推广我认为我现在已经找到了最自然的形式，但是我还不能判明这个推广的定律能否经得起经验事实的考验。
　　在前面的一般论述中，场定律的个别形式问题还是次要的。目下的问题主要是这里所设想的这种场论究竟能否达到其本身的目标。也就是说，这样的场论能否用场来透彻地描述物理实在，包括四维空间在内。目前这一代的物理学家对这个问题倾向于作否定的回答。依照目前形式的量子论，这一代的物理学家认为，一个体系的状态是不能直接规定的，只能对从该体系中所能获得的测量结果给予统计学的陈述而作间接的规定。目前流行的看法是，只有物理实在的概念这样削弱之后，才能体现已由实验证实了的自然界的二重性（粒子性和波性）。我认为，我们现有的实际知识还不能作出如此深远的理论否定；在相对论性场论的道路上，我们不应半途而废。

相 对 论 简 史
［英］史蒂芬·霍金著　
　　十九世纪后期，科学家相信他们对宇宙的完整描述已经接近尾声。他们想象一种叫“以太”的连续介质充满了宇宙空间，就象空气中的声波一样，光线和电磁信号是“以太”中的波。
　　然而，与空间完全充满“以太”的思想相悖的结果不久就出现了：根据“以太”理论应得出，光线传播速度相对于“以太”应是一个定值，因此，如果你沿与光线传播相同的方向行进，你所测量到的光速应比你在静止时测量到的光速低；反之，如果你沿与光线传播相反的方向行进，你所测量到的光速应比你在静止时测量到的光速高。但是，一系列实验都没有找到造成光速差别的证据。
　　在这些实验当中，阿尔波特·迈克尔逊和埃迪沃德·莫里1887年在美国俄亥俄州克里夫兰的凯斯研究所所完成的测量，是最准确细致的。他们对比两束成直角的光线的传播速度，由于围着自转轴的转动和绕太阳的公转，根据推理，地球应穿行在“以太”中，因此上述成直角的两束光线应因地球的运动而测量到不同的速度，莫里发现，无论是昼夜或冬夏都未引起两束光线光速的不同。不论你是否运动，光线看起来总是以相对于你同样的速度传播。
　　爱尔兰物理学家乔治·费兹哥立德和荷兰物理学家亨卓克·洛仑兹，最早认为相对于“以太”运动的物体在运动方向的尺寸会收缩，而相对于“以太”运动的时钟会变慢。而对“以太”，费兹哥立德和洛仑兹当时都认为是一种真实存在的物质。
　　这时候，工作在瑞士首都伯尔尼的瑞士专利局的一个名叫阿尔波特·爱因斯坦的年轻人，插手“以太”说，并一次性永远地解决了光传播速度的问题。
　　在1905年的文章中，爱因斯坦指出，由于你无法探测出你是否相对于“以太”的运动，因此，关于“以太”的整个概念是多余的。相反，爱因斯坦认为科学定律对所有自由运动的观察者都应有相同的形式，无论观察者是如何运动的，他们都应该测量到同样的光速。
　　爱因斯坦的这个思想，要求人们放弃所有时钟测量到的那个普适的时间概念，结果是，每个人都有他自己的时间值：如果两个人是相对静止的，那么，他们的时间就是一致的；如果他们间存在相互的运动，他们观察到的时间就是不同的。
　　大量的实验证明了爱因斯坦的这个思想是正确的，一个绕地球旋转的精确的时钟，与存放在实验室中的精确时钟确有时间指示上的差别。如果你想延长你的生命，你就可以乘飞机向东飞行，这样可以叠加上地球旋转的速度，你无论如何可以获得那零点几秒的生命延长，也可以以此弥补因你进食航空食品而带来的损害。
　　爱因斯坦认为的对所有自由运动的观察者自然定律都相同这个前提，是相对论的基础，这样说的原因是因为，这个前提隐含了只有相对运动是重要的。虽然相对论的完美与简洁折服了许许多多科学家和哲学家，但是仍然有很多的相反意见。爱因斯坦摒弃了19世纪自然科学的两个绝对化观念：“以太”所隐含的绝对静止和所有时钟所测量得到的绝对或普适时间。人们不禁要问：相对论是否隐含了任何事物都是相对的而不再会有概念上绝对的标准了？
　　这种不安从20世纪20年代一直持续到30年代。1921年，爱因斯坦由于对光电效应的贡献，得到了诺贝尔物理奖【注1】，但由于相对论的复杂及有争议，诺贝尔奖的授予只字未提相对论。
　　到现在我仍然每周收到2至3封信，告诉我爱因斯坦错了。尽管如此，现在相对论被科学界完全接受，相对论的预言已经被无数的实验所证实。
　　相对论的一个重要结果是质量与能量的关系。爱因斯坦的假定光速对所有的观察者是相同的，暗示了没有可以超过光速运行的事物，如果给粒子或宇宙飞船不断地供应能量，会发生什么现象呢？被加速物体的质量就会增大，使得很难进行再快的加速，要想把一个粒子加速到光速是不可能的，因为那需要无限大的能量。质量与能量的等价关系被爱因斯坦总结在他的著名的质能方程“E＝mc2”中，这或许是能被大街小巷妇孺皆知的唯一一个物理方程了。
　　铀原子核裂变成两个小的原子核时，由于很小一点的质量亏损，会释放出巨大的能量。这就是质能方程众多结论中的一个。1939年，第二次世界大战正阴云密布，一组意识到裂变反应应用的科学家说服爱因斯坦战胜自己是和平主义者的顾忌，去给当时的美国总统富兰克林·德拉诺·罗斯福写信，劝说美国开始核研究计划，这铸就了曼哈顿工程和1945年在广岛上空原子弹的爆炸。有人因原子弹而责备爱因斯坦发现了质能关系，但是这种责难就像因有飞机遇难折戟而责备牛顿发现了万有引力一样。爱因斯坦没有参与曼哈顿工程的任何过程并惊惧于那巨大的爆炸。
　　尽管相对论与电磁理论的有关定律结合得非常完美，但它与牛顿的重力定律不相容。牛顿的重力理论表明，如果你改变空间的物质分布，整个宇宙中重力场的改变是同时发生的，这不但意味着你可以发送比光速传播更快的信号（这是为相对论所不容的），而且需要绝对或普适的时间概念，这又是为相对论所抛弃的。
　　爱因斯坦从1907年就知道了这个不相容的困难，那时他还在波恩的专利局工作，但直到1911年，爱因斯坦在德国的布拉格工作时，他才深入思考这个问题。爱因斯坦意识到加速与重力场的密切关系，在密封厢中的人，无法区分他自己对地板的压力是由于他处在地球的重力场中的结果，还是由于在无引力空间中他被火箭加速所造成的。（这些都发生在“星际旅行”【注2】的时代之前，爱因斯坦是想到人处在电梯中而不是宇宙飞船中。但我们知道，如果不想让电梯碰撞的事情发生，你不能在电梯中加速或自由坠落许久）如果地球是完全平整的，人们可以说苹果因重力落在牛顿头上，与因牛顿与地球表面加速上升而造成了牛顿的头撞在苹果上是等价的。但是，这种加速与重力的等价在地球是圆形的前提下不再成立，因为在地球相反一面的人将会被反向加速，但两面观察者之间的距离却是不变的。
　　1912年在转回瑞士苏黎士时，爱因斯坦来了灵感，他意识到如果真实几何中引入一些调整，重力与加速的等价关系就可以成立。爱因斯坦想象，如果三维空间加上第四维的时间所形成的空间－时间实体是弯曲的，那结果是怎样的呢？他的思想是，质量和能量将会造成时空的弯曲，这在某些方面或许已经被证明。像行星和苹果，物体将趋向直线运动，但是，他们的径迹看起来会被重力场弯曲，因为时空被重力场弯曲了。
　　在他的朋友马歇尔·格卢斯曼的帮助下，爱因斯坦学习弯曲空间及表面的理论，这些抽象的理论，在玻恩哈德·瑞曼将它们发展起来时，从未想到与真实世界会有联系。1913年，在爱因斯坦与格卢斯曼合作发表的文章中，他们提出了一个思想：我们所认识的重力，只是时空是弯曲的事实的一种表述。但是，由于爱因斯坦的一个失误（爱因斯坦是个真正的人，也会犯错误），他们当时未能找出联系时空弯曲的曲率与蕴含于其中的能量质量的关系方程。
　　在柏林时，爱因斯坦继续就这个问题进行工作，他没有了家庭的烦扰【注3】，在很大程度上也未被战争所影响。1915年11月，爱因斯坦最终发现了联系时空弯曲与蕴含其中的能量质量的关系方程式。 1915年夏天，在访问哥廷根大学期间，爱因斯坦曾与数学家戴维·希尔波特讨论过他的这个思想，希尔波特早于爱因斯坦几天也找到了同样的方程式。尽管如此，正如希尔波特所承认的，这种新理论的荣誉应属于爱因斯坦，而正是爱因斯坦将重力与弯曲时空联系起来。这还应感谢文明的德国，因为，是在那里，在当时的战争期间，这样的科学讨论及交流仍能够得以不受影响地进行，与20年后（指二战，编者注）所发生的事形成多么大的对比！
　　关于弯曲时空的新理论叫做“广义相对论”，以区别与原初不包含重力的理论，而那个理论被改称为“狭义相对论”。1919年，“广义相对论”被以颇为壮观的形式证明：当时的一只英国科学考察队远征到西非，在日食期间观察到天空中太阳附近一颗恒星位置的微小移动。正如爱因斯坦所预言的：恒星所发出的光线，在经过太阳附近时，由于太阳的引力而弯曲了。这是证明时空弯曲的一个直接证据，从公元前300年欧几里得完成他的《原本》后，这是一个人类感知他们存在于宇宙的最大的革命性的更新。
　　爱因斯坦的“广义相对论”将“时空”由被动的事件发生背景转化为动态宇宙中的主动参与者，这导致了居于科学前沿的一个巨大困难，在20世纪结束之际仍未解决。宇宙充满了物质，物质又导致时空弯曲而使得物体相互聚集。在用“广义相对论”解释静态的宇宙时，爱因斯坦发现他的方程式是无解的，为变通他的方程式而适应静态宇宙，爱因斯坦加入了一个称为“宇宙常量”的项，这个“宇宙常量” 将时空再弯曲，以使所有的物体分离开，“宇宙”常量引入的排斥效果将平衡物体的相互吸引作用而允许宇宙的长久平衡。
　　事实上，这成了在理论物理历史上人类丧失的最大机遇之一。如果爱因斯坦继续在这一方向上工作下去而不是变通的引入“宇宙常量”，他可能能够预言宇宙是在扩张还是在收缩。然而，直到20年代，当坐落在威尔逊山上的100英寸的天文望远镜观察到离我们越远的星系在以越快的速度远离我们时，宇宙依时间而变化的可能性才被郑重地加以考虑。