质数

质数（又称素数），是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。比1大但不是素数的数称为合数，1和0既非素数也非合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。质数可分基本质数（2和3），阴性质数（6N-1形）和阳性质数（6N+1形）。阴性不等数（不等于6NM+-（M-N）两式）乘以6减去1是阴性质数；阳性不等数（不等于6NM+-（N+M）两式）乘以6加上1是阳性质数。关于质数有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想和孪生素数猜想等。

基本信息 中文名 :质数 外文名 :prime number 别名 :素数 别 名 :素数 直观理解 在自然数域内，质数是不可再分的数，是组成一切自然数的基本元素。 比如，10是由两个 2 和两个 3 组成的，正如水分子是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一样。只是和化学世界不同，质数有无穷多个，因此算术世界的元素也就有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方法，都是由其基本元素质数组成的。 目录 摘要 基本信息 直观理解 数学概念 素数分布 素数检验 已证明的定理 著名问题 哥德巴赫猜想 黎曼猜想 孪生素数猜想 费马数 梅森素数 应用 相关定理 素数定理 算术基本定理 素数等差数列 定理 未解之谜 相关成果 质数趣谈 孪生素数和广义孪生 梅森质数 费马质数 图册集锦 微信文章 公众账号 新闻动态 数学概念 只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。） 100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100内共有25个质数。 质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。 素数分布 尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100,000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 如果我们把整个素数按其大小排列，我们把它的位置系数定义为x变量，素数P定义为x的函数，通过对于4791431以内的335245位素数筛选分析发现素数p与其位置系数x存在以下关系式： 而且当素数趋近于无穷大时上式中ζ趋近于1即有 同时如果我们把相邻素数相减后再进行统计，我们发现差为6的相邻素数最多 而相邻差为2的素数小于相邻差为6的素数，随着相邻差的加大，它出现的几率趋于小，但是，它会以6为周期出现小峰点和谷点，孪生素数虽然小于差6的素数，但是它是在主峰值位置，所以我们不必要去探寻孪生素数是不是存在无限个，因为只要素数是无限的，那么就存在任意相邻偶数差的无限个素数，且只存在一对相邻差为1的素数，即2于3，同时所有相邻差的和就是被统计区间的最大素数。 素数检验 可用以下方法检验是素数还是合数。 　　B部　　阴一上　　[(b+1)/36-N^2]/(6N+1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N+1是数因子．　　阴一下　　　　[(b+1)/36-N^2]/(6N－1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N－1是数因子．　　代入两式都没有整数解，这个阴性数是素数． 　　B部　　阴二上　　[(b-5)/36-N*(N+1)]/(6N+1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N+1是数因子．　　阴二下　　　　[(b+31)/36-(N+2)*(N+3)+6]/(6N－1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N－1是数因子．　　 代入两式都没有整数解，这个阴性数是素数． 　　B部　　阴三上　　[(b-11)/36-(N+1)^2+1]/(6N+1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N+1是数因子．　　阴三下　　　　[(b+25)/36-(N+2)^2+4]/(6N－1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N－1是数因子．　　代入两式都没有整数解，这个阴性数是素数．　　B部　　阴四上　　[(b-17)/36-(N+1）*（N+2）+2]/(6N+1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N+1是数因子．　　阴四下　　　　[(b+19)/36-(N+1）*（N+2）+2]/(6N－1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N－1是数因子．　　代入两式都没有整数解，这个阴性数是素数．　　B部　　阴五上　　[(b-23)/36-(N+2）＾2+4]/(6N+1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N+1是数因子．　　阴五下　　　　[(b+13)/36-(N+1）^2+1]/(6N－1)=M　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N－1是数因子．　　代入两式都没有整数解，这个阴性数是素数。 B部 　　阴六上 　　[(b-29)/36-(N+2）*（N+3）+6]/(6N+1)=M 　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N+1是数因子． 　　阴六下 　　 　　[(b+7)/36-N*（N+1）]/(6N－1)=M 　　把一个阴性数代入b，有整数解的，这个阴性数是阴性上合数，6N－1是数因子． 　　代入两式都没有整数解，这个阴性数是素数． 　　B部 　　 　　阳一上 　　[( B-1)/36+N^2]/(6N+1)=M 　　把一个阳性数代入B有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,6N+1是数因子. 　　阳一下 　　[(B-1)/36+N^2]/(6N-1)=M 　　把一个阳性数代入B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,6N-1是数因子. 　　代入两式都没的整数解的,这个阳性数是质数. B部 　　 　　阳二上 　　[( B-7)/36+N*(N-1)]/(6N+1)=M 　　把一个阳性数代入B有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,6N+1是数因子. 　　阳二下 　　[(B+29)/36+(N-2)*(N-3)-6]/(6N-1)=M 　　把一个阳性数代入B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,6N-1是数因子. 　　代入两式都没的整数解的,这个阳性数是质数. 　　B部 　　 　　阳三上 　　[( B-13)/36+(N-1)^2-1]/(6N+1)=M 　　把一个阳性数代入B有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,6N+1是数因子. 　　阳三下 　　[(B+23)/36+(N-2)^2-4]/(6N-1)=M 　　把一个阳性数代入B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,6N-1是数因子. 　　代入两式都没整数解的,这个阳性数是质数. 　　B部 　　 　　阳四上 　　[( B-19)/36+(N-1)*(N-2)-2]/(6N+1)=M 　　把一个阳性数代入B有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,6N+1是数因子. 　　阳四下 　　[(B+17)/36+(N-2)*(N-1)-2]/(6N-1)=M 　　把一个阳性数代入B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,6N-1是数因子. 　　代入两式都没的整数解的,这个阳性数是质数. 　　B部 　　 　　阳五上 　　[( B-25)/36+(N-2)^2-4]/(6N+1)=M 　　把一个阳性数代入B有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,6N+1是数因子. 　　阳五下 　　[(B+11)/36+(N-1)^2-1]/(6N-1)=M 　　把一个阳性数代入B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,6N-1是数因子. 　　代入两式都没的整数解的,这个阳性数是质数. 　　B部 　　 　　阳六上 　　[( B-31)/36+(N-2)*(N-3)-6]/(6N+1)=M 　　把一个阳性数代入B有整数解的,这个阳性数是阳性上合数,6N+1是数因子. 　　阳六下 　　[(B+5)/36+N*(N-1)]/(6N-1)=M 　　把一个阳性数代入B,有整数解的,这个阳性数是阳性下合数,6N-1是数因子. 　　代入两式都没的整数解的,这个阳性数是质数. 检查一个正整数N是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数N用小于等于根号N的所有素数去试除，若均无法整除，则N为素数，参见素数判定法则。 2002年，印度人M. Agrawal、N. Kayal以及N. Saxena提出了AKS质数测试算法，证明了可以在多项式时间内检验是否为素数。 已证明的定理 在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在一个素数。 存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年） 一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多祇有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年） 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中的因子个数有上界。（瑞尼，1948年） 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国潘承洞，1968年) 一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润) 著名问题 哥德巴赫猜想 在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。若哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。 哥德巴赫猜想证明的困难在于，任何能找到的素数，在以下式中都是不成立的。 2*3*5*7*。。。。。。*PN*P=PN+（2*3*5*7*。。。。。。*P-1）*PN 前面的偶数减去任何一个素数PN的差必是合数。 黎曼猜想 黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（criticalline））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 孪生素数猜想 　　关健词:完全不等数,SN区间,LN区间. 　　 　　一。素数两性定理 　　大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。 　　6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数。 　　阴性合数定理 　　6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1） 　　6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1） 　　在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理 　　6NM+-（M-N）=/=x（阴性不等数） 　　6x-1=q（阴性素数） 　　阳性合数定理 　　6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1） 　　6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1） 　　在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理 　　6NM+-（N+M）=/=X（阳性不等数） 　　6X+1=P（阳性素数） 　　（N M两个自然数 N《= M） 　　二。与孪生素数相对应的完全不等数 　　完全不等数(X),它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。 　　(X)=/=6NM+-(M+-N) 　　则有 6(X)+1=P 6(X)-1=q 　　一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数. 　　并且完全不等数与孪生素数是一一对应的. 　　三。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况 　　6NM+（M-N）=阴性上等数 6NM-（M-N）=阴性下等数 　　6NM+（N+M）=阳性上等数 6NM-（N+M）=阳性下等数 　　为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。 　　四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）范围。 　　每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例因每一级别的底部都没有这个级别的上等数；下等数也一样的情况。） 　　每一级别的下等数相邻等数的距离是6n-1，在自然数列中的比例是1/（6n-1），阴阳两种下等数的每个级别的合计比例是2/（6n-1）。 　　每个级别的四种等数在自然数列中的比例是24N/[(6N+1)(6N-1)]. 　　四。四种等数大小数列的互相渗透 　　自然数列中有阴性上等数数列，阴性的下等数数列，阳性上等数数列和阳性下等数数列。它们的级别有无限多，每一个级别的数列的等数都是无限多的。同一种等数级别不同的数列都是互相渗透而产生重叠，并以两级别的等数距离的乘积而严格地重叠的。在计算一种若干的级别的等数时用连乘式正好可以表示它的渗透重叠关系。四种等数数列之间都有互相渗透而重叠，只有同一级别阴阳上上数列.下下数列没有渗透.四种数列之间的渗透重叠不用计算也足够可以证明了。 　　五。与素数分布基本同步的SN区间 　　把自然数划分成12，24，36……以12为递增的一个个区间，这样的区间叫SN区间。SN区间与四种等数数列是同步的，即: 　　12（1+2+3+……+N）=6NN+6N 　　在这样的区间内包括N级别及以下的所有四种等数数列的等数，并没有比N级别大的数列等数，与四种等数的级别是完全同步的，所以与素数的分布也是同步的。 　　六。每个大于S8区间内都有8个以上的完全不等数 　　在每一个SN区间只有存在1至N级别的四种数列等数，每一级别等数的比例是可以确定，由于上下级别的渗透。就可以拿以下式来计算S8区间的完全不等数的至少个数。 　　12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768 　　其他每一个SN区间可用这种方法计算. 　　随着区间的增大完全不等数计算的数量也会越来越多.以后都会超过8个. 　　七。误差分析 　　 　　用最严格下取整的误差分析方法，将SN区间捆绑成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN区间.在每一个大于S8的SN区间计算都大于8个完全不等数,在每一个LN区间都有2^N-1级别等数数列, 每级级别有4种等数数列,每一级别一种等数筛一次误差极限是1 .每一个LN区间误差极限是4*(2^N-1). 　　8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4 　　最严格下取整后大于L4的区间仍然还有4个完全不等数。 　　八。总结 　　根据以上的论证，在大于S8区间每一个SN区间都有8个以上的完全不等数. 　　严格的下取整后，大于L4的每一个LN区间都还有多于4个的完全不等数以上的量。 　　LN区间是无限多的，完全不等数与孪生素数对是一一对应的，所以孪生素数也是无限多的 1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。 猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孪生质数。 费马数 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设 ，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65,537，都是质数，由于F5太大（F5=4,294,967,297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=641×6,700,417是一个合数。 以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1,495，其位数多达1010584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。 高斯已经证明，一个正多边形能用直尺和圆规作出当且仅当边数为质数的Fn或若干个为质数的Fn的乘积。 梅森素数 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：当2p-1 中的p是质数时，2p-1是质数。他验算出：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2p-1都是素数，但p=11时，所得2,047=23×89却不是素数。 梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 目前最大的已知质数是梅森质数257,885,161－1。迄今为止，人类仅发现48个梅森质数。中央密苏里大学在2013年1月25日协调世界时间23:30:26发现的那一素数2的57,885,161次幂减一为迄今发现的最大素数。由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。 中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想(即周氏猜测)。 应用 质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。 在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。 在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。 以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。 多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。

相关定理 素数定理 素数定理描述素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/lnx 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。 素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 : 至於大O项的常数则还未知道。 素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。 算术基本定理 任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 , 这里P11）时2p-1能被2m-1整除不是质数，故梅森质数必须满足p为质数。当p=2,3,5,7时，2p-1=3,7,31,127，都是质数，似乎其逆命题，p为质数是2p-1一定是质数，也成立。实则不然，第一个反例出现在p=11时，2p-1=2047=23×89是合数。这样一来2p-1是否质数便变得不可捉摸，这成了数学界上又一个方兴未艾的研究主题。 大家有没有发现，各种“人类发现的最大质数”这类新闻，里面所发现的质数，都是梅森质数——说明梅森质数比起一般的质数具有更好的性质。而信息时代发现的越来越大的质数，都是依赖于一个叫做GIMPS的网络系统，它从因特网免费下载开放源代码的Prime95和MPrime软件来搜索梅森素数。俗话说“众人拾柴火焰高”利用“每个志愿者的小米加步枪”，人类便可以更快地发现更大的梅森质数。 梅森质数还有另一个意义：如果2p-1是素数，则2p-1(2p-1)是完美数。并且所有的偶完美数都有这种形式。也就是说，每个梅森质数对应一个偶完美数，发现了多少个梅森质数就发现了多少个偶完美数。完美数的极其美妙的性质也吸引了众多数学爱好者投入梅森质数的研究中。 费马质数 与梅森质数相对，形如2m+1的数，如果是质数，则称为费马质数。可以证明，m一定是2的幂——若m=ab，其中1费马曾错误地猜想，当n为任意自然数时， 都是质数。但是，命运给费马开了个大玩笑。费马死后，大家找到了很多 形式的合数，却至今仍未发现当n≥5的费马质数。也就是说，至今发现的费马质数只有3、5、17、257、65537五个。至于费马质数是否只有这五个，或者是否是有限个，至今还是一个未解之谜。 费马质数的一个意义在于，一个正k边形能用尺规作出，当且仅当k为费马质数（或者互不相同的费马质数的乘积）乘以2的任意自然数次幂。这样，就已发现的费马质数而言，能用尺规作出的最大正奇数边形为正4294967295边形，它等于232-1，正好是五个费马质数的乘积。有趣的是，4294967295也是无符号32位整型的最大值。